Lutz
23.08.2014, 06:25
Auf unebenem Boden wackelt fast jeder Tisch. Die meisten Menschen stecken gefaltetes Papier unter ein Bein. Mathematiker lösen das Problem jedoch viel eleganter.
Ein wackelnder Tisch im Biergarten oder im Restaurant kann ziemlich nerven. Gläser klirren oder kippen gar um, beim Aufstützen gibt die Platte nach. Das Problem tritt nur bei vierbeinigen Tischen auf - mit drei Beinen kann es nicht passieren. Die klassische Lösung ist bekannt: Zwei, drei Bierdeckel oder eine gefaltete Serviette sorgen für Stabilität. Allerdings hilft zumindest die Serviette nur kurzzeitig, weil das Papier schnell zusammengepresst wird. Prompt wackelt der Tisch wieder.
Kunststück am Biertisch
Nun beginnt das Kunststück: Wir drehen den Tisch um ein Viertel - also um 90 Grad. Die Drehrichtung ist egal, beim Beispiel hier wird entgegen des Uhrzeigersinns gedreht. Dabei achten wir darauf, dass die Beine 2, 3 und 4 permanent am Boden bleiben - Bein Nummer 1 hängt zu Beginn in der Luft.
Wir beobachten nun, welche Höhe Bein 1 beim Drehen über dem Boden hat. Die Höhe ändert sich sicher mit dem Drehwinkel. Wir können sie als Funktion des Winkels auffassen. Bei 0 Grad ist sie genau a - aber die Funktion kann auch negative Werte annehmen. Das bedeutet, dass Bein 1 im Boden steckt, was natürlich nur bei weichem Untergrund tatsächlich geht.
Nach einer Vierteldrehung (90 Grad) ist die Höhe von Bein 1 auf jeden Fall negativ, wie ein Blick auf den rechten Teil der Skizze zeigt. Die Beine 2, 3, 4 stehen bekanntlich auf dem Boden. Das geht jedoch nur, wenn das Ende von Bein 1 eine negative Höhe von -a hat. Denn das hintere rechte Bein (4) ist nach der 90-Grad-Drehung des Tischs genau um den Abstand a höher als das hintere linke Bein (1). Das hintere rechte Bein (4) hat infolge der Drehung, bei der 2, 3, und 4 am Boden bleiben, aber die Höhe 0.
Funktion ist in der Regel stetig
Die Funktion der Höhe in Anhängigkeit vom Drehwinkel ist bei 0 Grad +a, bei 90 Grad aber -a. Wir wissen außer diesen beiden Punkten eigentlich nichts über die Funktion. Eines aber ist sicher: Solange keine Stufen im Boden sind, macht die Funktion keine Sprünge. Oder wie die Mathematiker sagen: Sie ist stetig. Man kann sie daher als wie auch immer geformte Linie zeichnen. Und weil diese Linie einen Punkt größer 0 mit einem Punkt kleiner 0 verbindet, muss die Funktion irgendwo zwischen 0 und 90 Grad den Wert 0 haben. Das ist die Position, in der unser Tisch nicht mehr wackelt.
Übrigens: Wenn der Boden sehr wellig ist, kann die Höhe zwischen 0 und 90 Grad sogar mehrfach 0 sein - im Diagramm als gestrichelte rote Linie gezeichnet. Möglich ist natürlich auch eine Gerade (im Diagramm rot durchgezogen). Wie dem auch sei: Jede beliebige Funktion schneidet mindestens einmal die x-Achse. Der Satz aus der Analysis dazu heißt übrigens Zwischenwertsatz im konkreten Fall hier auch Nullstellensatz von Bolzano.
zum ganzen Artikel mit Video: Spiegel.de (http://www.spiegel.de/wissenschaft/technik/mathematik-mathetrick-stoppt-wackelnden-tisch-im-biergarten-a-987096.html)
Ein wackelnder Tisch im Biergarten oder im Restaurant kann ziemlich nerven. Gläser klirren oder kippen gar um, beim Aufstützen gibt die Platte nach. Das Problem tritt nur bei vierbeinigen Tischen auf - mit drei Beinen kann es nicht passieren. Die klassische Lösung ist bekannt: Zwei, drei Bierdeckel oder eine gefaltete Serviette sorgen für Stabilität. Allerdings hilft zumindest die Serviette nur kurzzeitig, weil das Papier schnell zusammengepresst wird. Prompt wackelt der Tisch wieder.
Kunststück am Biertisch
Nun beginnt das Kunststück: Wir drehen den Tisch um ein Viertel - also um 90 Grad. Die Drehrichtung ist egal, beim Beispiel hier wird entgegen des Uhrzeigersinns gedreht. Dabei achten wir darauf, dass die Beine 2, 3 und 4 permanent am Boden bleiben - Bein Nummer 1 hängt zu Beginn in der Luft.
Wir beobachten nun, welche Höhe Bein 1 beim Drehen über dem Boden hat. Die Höhe ändert sich sicher mit dem Drehwinkel. Wir können sie als Funktion des Winkels auffassen. Bei 0 Grad ist sie genau a - aber die Funktion kann auch negative Werte annehmen. Das bedeutet, dass Bein 1 im Boden steckt, was natürlich nur bei weichem Untergrund tatsächlich geht.
Nach einer Vierteldrehung (90 Grad) ist die Höhe von Bein 1 auf jeden Fall negativ, wie ein Blick auf den rechten Teil der Skizze zeigt. Die Beine 2, 3, 4 stehen bekanntlich auf dem Boden. Das geht jedoch nur, wenn das Ende von Bein 1 eine negative Höhe von -a hat. Denn das hintere rechte Bein (4) ist nach der 90-Grad-Drehung des Tischs genau um den Abstand a höher als das hintere linke Bein (1). Das hintere rechte Bein (4) hat infolge der Drehung, bei der 2, 3, und 4 am Boden bleiben, aber die Höhe 0.
Funktion ist in der Regel stetig
Die Funktion der Höhe in Anhängigkeit vom Drehwinkel ist bei 0 Grad +a, bei 90 Grad aber -a. Wir wissen außer diesen beiden Punkten eigentlich nichts über die Funktion. Eines aber ist sicher: Solange keine Stufen im Boden sind, macht die Funktion keine Sprünge. Oder wie die Mathematiker sagen: Sie ist stetig. Man kann sie daher als wie auch immer geformte Linie zeichnen. Und weil diese Linie einen Punkt größer 0 mit einem Punkt kleiner 0 verbindet, muss die Funktion irgendwo zwischen 0 und 90 Grad den Wert 0 haben. Das ist die Position, in der unser Tisch nicht mehr wackelt.
Übrigens: Wenn der Boden sehr wellig ist, kann die Höhe zwischen 0 und 90 Grad sogar mehrfach 0 sein - im Diagramm als gestrichelte rote Linie gezeichnet. Möglich ist natürlich auch eine Gerade (im Diagramm rot durchgezogen). Wie dem auch sei: Jede beliebige Funktion schneidet mindestens einmal die x-Achse. Der Satz aus der Analysis dazu heißt übrigens Zwischenwertsatz im konkreten Fall hier auch Nullstellensatz von Bolzano.
zum ganzen Artikel mit Video: Spiegel.de (http://www.spiegel.de/wissenschaft/technik/mathematik-mathetrick-stoppt-wackelnden-tisch-im-biergarten-a-987096.html)